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（1）在任何状态下，厄米算符的本征值必为实数。
（2）在任何状态下平均值为实数的算符必为厄米算符。
（3）厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。
（4）厄米算符的本征函数具有完备性。
埃尔米特矩阵等于自己的共轭转置。根据有限维的谱定理，必定存在着一个正交归一基，可以表达自伴算子为一个实值的对角矩阵。
量子力学中，可以观测的物理量要用厄米算符来表示。算符的厄米性不仅对算符有了很大的限制，而且对波函数也有一些限制。
量子力学中力学量用厄米算符来描述
量子体系中的可观测量（力学量）用线性厄米算符来描述是量子力学的一个基本假设，其正确性应该由实验来判定。
量子体系中的力学量用相应的线性厄米算符来描述”具有多方面的含义：
一，算符的线性是状态叠加原理所要求的。
二，实验上的可观测的力学量总是实数，力学量相应的算符必须是厄米算符；实际上，这种要求是有些过分了，即使某个力学量的算符不是厄米算符，只要它的本征值是实数即可，但是这样做的结果会使本征矢变成超完备的，以致不便于使用。
其中ϕ ψ 、是任意波函数，则称算符F
∧
为厄米算符。
厄米算符具有一些重要的性质：
（1）在任何状态下，厄米算符的本征值必为实数；
（2）在任何状态下平均值为实数的算符必为厄米算符；
（3）厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交；
(4) 厄米算符的本征函数具有完备性。 量子体系中的可观测量（力学量）用线性厄米算符来描述是量子力学的一个基本假设，其正确性应该由实验来判定。
量子体系中的力学量用相应的线性厄米算符来描述”具有多方面的含义：
一，算符的线性是状态叠加原理所要求的；
二，实验上的可观测的力学量总是实数，力学量相应的算符必须是厄米算符；实际上，这种要求是有些过分了，即使某个力学量的算符不是厄米算符，只要它的本征值是实数即可，但是这样做的结果会使本征矢变成超完备的，以致不便于使用。
三，量子力学里测量值通常不是唯一确定的值，而是具有一定概率分布的一系列的值，这些测量值的平均值可用
（ψ 已经归一化）来表示；
四，力学量之间的关系也可通过相应算符之间的关系（如对易关系）来反映出来。
基于以上三点，量子力学中的力学量用厄米算符来描述。 我们知道算符的性质可用矩阵来表示，那么厄米算符对应怎样的矩阵
呢？
从厄米算符是定义出发：
但是需要指出的是，以线性厄米算符表示力学量扩充了量子力学中力学量的范围，除了有经典的对应的力学量外，即使经典物理中没有相应的力学量，但只要是线性厄米算符，在微观世界中有意义，诸如宇称、自旋、同位旋等，也都是力学量。 实验上的可观测的物理量都是厄米算符，为了保证算符的厄米性，常常要求波函数满足一定的条件。接下来，下文将在一些文献的基础上，以常见的几种一维算符为例，对此做一些探讨。
量子力学中的常见算符
量子力学中的常见算符有坐标算符、动量算符、能量算符、角动量算符等等，对于宇称算符、自旋算符以及同位旋算符，这里我们不讨论。从这些常见的算符出发，分析它们对波函数的限制，再利用厄米算符的一些性质（如两厄米算符之和仍为厄米算符，可対易的两厄米算符之积仍为厄米算符）来研究更广泛的算符，以期得到普遍的结论。
坐标算符
满足厄米算符定义式（1），即对坐标算符来说，算符的厄米性对波函数无附加限制。推广到一般的实函
厄米算符的定义你可以自己百度之，上面说的很清楚，但是个人感觉值得强调的是以下两点：
1，在任何状态下，厄米算符的本征值必为实数；
2，可以观测的物理量要用厄米算符来表示。
以上两条可以说是互通的，因为真实物理世界的观测量（比如物体质量，动量，能量等等）本征值必然是实数，你不可能测量一个物体的质量得到虚数的。因此只有厄米算符能满足这个特点；正因为所有的物理观测量在量子理论的表达都是厄米算子，所以厄米算符的性质非常重要。个人感觉上面两点是理解厄米算子的基础，只要知道厄米算子与真实物理世界观测量的对应关系，以后想到厄米算子的本征态对应某个研究系统的该物理量的状态，而厄米算子本征值对应该物理量的测量值，一切就会好理解很多。
比如：
3，厄米算子的共轭转制等于自身；
这句话的意思和上面1，的说法可以是等价的。因为只有满足3才能保证其本征值必为实数。你可以推导一下，当然量子力学书上应该也有。
4，厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交；
将厄米算符对应一个物理量，比如说物体的速度v。那么本征态 |v=30m/s 和 |v=20m/s 肯定是正交的，因为不可能存在一个物体其速度既是30m/s又是20m/s，两个状态是正交的。
。。。
相应的例子有很多，都可以按照上面的对应关系套用来对比，会好理解很多。
另外，你贴出来的图片和厄米算子本身似乎没多大关系吧。。