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信息码添四个零，去除多项式，得到余数，为****
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那么传送的12个比特就是11001101****。
Computer Networks 自顶向下方法书里有！
在代数编码理论中，将一个码组表示为一个多项式，码组中各码元当作多项式的系数。例如 1100101 表示为1·x6+1·x5+0·x4+0·x3+1·x2+0·x+1，即 x6+x5+x2+1。
设编码前的原始信息多项式为P(x)，P(x)的最高幂次加1等于k；生成多项式为G(x)，G(x)的最高幂次等于r；CRC多项式为R(x)；编码后的带CRC的信息多项式为T(x)。
发送方编码方法：将P(x)乘以xr(即对应的二进制码序列左移r位)，再除以G(x)，所得余式即为R(x)。用公式表示为T(x)=xrP(x)+R(x)
接收方解码方法：将T(x)除以G(x)，得到一个数，如果这个余数为0，则说明传输中无错误发生，否则说明传输有误。
举例来说，设信息编码为1100，生成多项式为1011，即P(x)=x3+x2，G(x)=x3+x+1，计算CRC的过程为
xrP(x) =x3(x3+x2) = x6+x5 G(x)= x3+x+1 即 R(x)=x。注意到G(x)最高幂次r=3，得出CRC为010。
如果用竖式除法(计算机的模二，计算过程为
1110 ------- 1011 /1100000 (1100左移3位) 1011 ---- 1110 1011 ----- 1010 1011 ----- 0010 0000 ---- 010 因此，T(x)=(x6+x5)+(x)=x6+x5+x, 即 1100000+010=1100010
如果传输无误，
T(x)= （x6+x5+x）/G(x) = , G(x)= 无余式。回头看一下上面的竖式除法，如果被除数是1100010，显然在商第三个1时，就能除尽。
上述推算过程，有助于我们理解CRC的概念。但直接编程来实现上面的算法，不仅繁琐，效率也不高。实际上在工程中不会直接这样去计算和验证CRC。
下表中列出了一些见于标准的CRC资料：
名称 生成多项式 简记式* 应用举例
CRC-4 x4+x+1 3 ITU G.704
CRC-8 x8+x5+x4+1 31 DS18B20
CRC-12 x12+x11+x3+x2+x+1 80F
CRC-16 x16+x15+x2+1 8005 IBM SDLC
CRC-ITU** x16+x12+x5+1 1021 ISO HDLC, ITU X.25, V.34/V.41/V.42, PPP-FCS,ZigBee
CRC-32 x32+x26+x23+...+x2+x+1 04C11DB7 ZIP, RAR, IEEE 802 LAN/FDDI,IEEE 1394,PPP-FCS
CRC-32c x32+x28+x27+...+x8+x6+1 1EDC6F41 SCTP
* 生成多项式的最高幂次项系数是固定的1，故在简记式中，将最高的1统一去掉了，如04C11DB7实际上是104C11DB7。 ** 前称CRC-CCITT。ITU的前身是CCITT。
备注：
（1）生成多项式是标准规定的
（2）CRC校验码是基于将位串看作是系数为0或1的多项式，一个k位的数据流可以看作是关于x的从k-1阶到0阶的k-1次多项式的系数序列。采用此编码，发送方和接收方必须事先商定一个生成多项式G(x)，其高位和低位必须是1。要计算m位的帧M(x)的校验和，基本思想是将校验和加在帧的末尾，使这个带校验和的帧的多项式能被G(x)除尽。当接收方收到加有校验和的帧时，用G(x)去除它，如果有余数，则CRC校验错误，只有没有余数的校验才是正确的。
1、将X的最高次幂为R的生成多项式G(X)转换成对应的R+1位二进制数。
2、将信息码左移R位，相当于对应的信息多项式C(X)*2R。
3、用生成多项式（二进制数）对信息码做除，得到R位的余数。
4、将余数拼到信息码左移后空出的位置，得到完整的CRC码。
【例】假设使用的生成多项式是G(X)=X3+X+1。4位的原始报文为1010，求编码后的报文。
解：
1、将生成多项式G(X)=X3+X+1转换成对应的二进制除数1011。
2、此题生成多项式有4位（R+1）(注意：4位的生成多项式计算所得的校验码为3位，R为校验码位数)，要把原始报文C(X)左移3（R）位变成1010 000
3、用生成多项式对应的二进制数对左移3位后的原始报文进行模2除（高位对齐），相当于按位异或：
1010000
1011
------------------
0001000
1011
------------------
011
得到的余位011，所以最终编码为：1010 011
* CRC.C——CRC程序库 */
#define CRCCCITT 0x1021
#define CCITT-REV 0x8408
#define CRC16 0x8005
#define CRC16-REV 0xA001
#define CRC32-POLYNOMIAL 0xEDB88320L
/* 以上为CRC除数的定义 */
#define NIL 0
#define crcupdate(d,a,t)*(a)=(*(a)8)^(t)[(*(a)8)^(d)];
#define crcupdate16(d,a,t)*(a)=(*(a)8^(t)[(*(a)^(d))0x00ff])
/* 以上两个宏可以代替函数crcupdate和crcrevupdate */
#include #include #include /* 函数crchware是传统的CRC算法，其返回值即CRC值 */ unsigned short crchware(data,genpoly,accum)
unsigned short data;/* 输入的数据 */
unsigned short genpoly;/* CRC除数 */
unsigned short accum;/* CRC累加器值 */
{
static int i;
data=8;
for(i=8;i0;i--)
{
if((data^accum)0x8000)
accum=(accum1)^genpoly;
else
accum=1;
data=1;
}
return (accum);
}
/* 函数mk-crctbl利用函数crchware建立内存中的CRC数值表 */
unsigned short *mk-crctbl(poly,crcfn);
unsigned short poly;/* CRC除数--CRC生成多项式 */
Runsigned short (*crcfn)();/* 指向CRC函数(例如crchware)的指针 */
{
/* unsigned short */malloc(); */
unsigned short *crctp;
int i;
if((crctp=(unsigned short*)malloc(256*sizeof(unsigned)))==0)
return 0;
for(i=0;i256;i++)
crctp=(*crcfn)(i,poly,0);
return crctp;
}
/* 函数mk-crctbl的使用范例 */
if((crctblp=mk-crctbl(CRCCCITT,crchware))==NIL)
{
puts("insuff memory for CRC lookup table.\n");
return 1; */
/* 函数crcupdate用以用查表法计算CRC值并更新CRC累加器值 */
void crcupdate(data,accum,crctab)
unsigned short data;/* 输入的数据 */
unsigned short *accum;/* 指向CRC累加器的指针 */
unsigned short *crctab;/* 指向内存中CRC表的指针 */
{
static short comb-val;
comb-val=(*accum8)^data;
*accum=(*accum8)^crctab[comb-val];
}
/* 函数crcrevhware是传统的CRC算法的反序算法，其返回值即CRC值 */
unsigned short crcrevhware(data,genpoly,accum)
unsigned short data;
unsigned short genpoly;
unsigned short accum;
{
static int i;
data=1;
for(i=8;i0;i--)
{
data=1;
if((data^accum)0x0001)
accum=(accum1)^genpoly;
else
accum=1;
}
return accum;
}
/* 函数crcrevupdate用以用反序查表法计算CRC值并更新CRC累加器值 */
void crcrevupdate(data,accum,crcrevtab)
unsigned short data;
unsigned short *accum;
这几天一直在看CRC校验算法。CRC版本众多，网站上实现算法一大坨，可一开始根本搞不清楚那个是哪个。连续上百度，哔哩哔哩，知乎看了很多解读CRC算法的，终于有了一些眉目，打算写下来，方便日后参考。
CRC算法核心其实只有一种，即二进制除法的实现，版本众多的原因主要有以下几个原因：
CRC字段的长度
多项式公式
初始值
输出是否水平翻转
输入是否水平翻转
结果异或值
我绝大多数的文章都只谈到了CRC字段的长度和多项式公式，没有涉及剩余的三项在crc算法中的应用。
CRC字段的长度 ，字段越长，对于crc算法的校验能力越强。如果我们用出错的概率来评估校验能力的话。N长度的字段，他的校验能力为1/2**N。此处的运算符号采用Python语言中的含义。
一般而言，我们取的长度主要有8位，16位和32位。当然也有一些比较奇特的，4位，5位和6位，还有7位。
多项式公式 是我们二进制多项式算法中的除数。不同的算法往往取的多项式是不一样的。
初始值 ，是指CRC字段的初始值。常常是从0和全是1中选择。
输入反转。 具体的操作方法实施将输入的数据按照字节为单位进行水平反转。比如01000001，翻转结果是10000010。
输出翻转 。输出翻转的操作与输入翻转操作是一样的。只是输出翻转是将整个CRC字段进行水平翻转。
结果异或值 ，是用来和 通过上述的算法算出来的结果 进行异或的一个数据值。如果这个值是0的话，那么就相当于没有进行异或。
为什么需要这么多看起来乱七八糟的种类呢。这些算法分别针对不同的数据的检验。针对不同的数据的特性，比如说某些数据，一开始就会有大量的零，如果不采用输入翻转或者初始值的话，那么这些0就对于校验结果没有任何影响。这就如我们想要的结果有出入了，我们希望校验结果和数据是一一对应的，并且是唯一的。如果不唯一那么，校验结果也就失去了意义。因此这么多算法的出现，主要原因就是为了适应不同的数据字符串的特点。
下面就是一些例子了。
验证网站：
CRC意思是循环冗余码校验。
校验原理：（M-R）/G=Q+0/G
说明：以接收到的校验码除以约定的除数，若余数为0，则可认为接收到的数据是正确的。
例：有效信息1101，生成多项式样1011
循环校验码解：
有效信息1101（k=4），即M（x）=x3+x2+x0，生成多项式1011（r+1=4，即r=3）；
即G（x）=x3+x1+x0，M（x）·x3=x6+x5+x3，即1101000（对1101左移三位）；
M（x）·x3/G（x）=1101000/1011=1111+001/1011即1010的CRC是：1101001。
扩展资料：
CRC码集选择的原则：
若设码字长度为N，信息字段为K位，校验字段为R位（N=K+R），则对于CRC码集中的任一码字，存在且仅存在一个R次多项式g（x），使得
V（x）=A（x）g（x）=xRm（x）+r（x）；
其中：m（x）为K次信息多项式，r（x）为R-1次校验多项式，
g（x）称为生成多项式：
g（x）=g0+g1x+g2x2+。。。+g（R-1）x（R-1）+gRxR
发送方通过指定的g（x）产生CRC码字，接收方则通过该g（x）来验证收到的CRC码字。
参考资料来源：百度百科-CRC （循环冗余校验）
通常的CRC算法在计算一个数据段的CRC值时，其CRC值是由求解每个数值的CRC值的和对CRC寄存器的值反复更新而得到的。这样，求解CRC的速度较慢。通过对CRC算法的研究，我们发现:一个8位数据加到16位累加器中去，只有累加器的高8位或低8位与数据相作用，其结果仅有256种可能的组合值。因而，我们可以用查表法来代替反复的运算，这也同样适用于CRC32的计算。本文所提供的程序库中，函数crchware是一般的16位CRC的算法；mk-crctbl用以在内存中建立一个CRC数值表；crcupdate用以查表并更新CRC累加器的值；crcrevhware和crcrevupdate是反序算法的两个函数；BuildCRCTable、CalculateBlockCRC32和UpdateCharac
terCRC32用于CRC32的计算。 /*CRC.C——CRC程序库*/#define CRCCCITT0x1021#define CCITT-REV0x8408#define CRC160x8005#define CRC16-REV0xA001#define CRC32-POLYNOMIAL0xEDB88320L/*以上为CRC除数的定义*/#define NIL0#define crcupdate(d,a,t) *(a)=(*(a)8)^(t)[(*(a)8)^(d)];#define crcupdate16(d,a,t) *(a)=(*(a)8^(t)[(*(a)^(d))0x00ff])/*以上两个宏可以代替函数crcupdate和crcrevupdate*/#include stdio.h#include stdlib.h#include alloc.h/*函数crchware是传统的CRC算法，其返回值即CRC值*/unsigned short crchware(data,genpoly,accum)unsigned short data;/*输入的数据*/unsigned short genpoly;/*CRC除数*/unsigned short accum;/*CRC累加器值*/{ static int i; data=8; for(i=8;i0;i--) { if((data^accum)0x8000) accum=(accum1)^genpoly; else accum=1; data=1; } return(accum);}/*函数mk-crctbl利用函数crchware建立内存中的CRC数值表*/unsigned short *mk-crctbl(poly,crcfn);unsigned short poly; /*CRC除数--CRC生成多项式*/Runsigned short(*crcfn)(); /*指向CRC函数(例如crchware)的指针*/{ /*unsignedshort*/malloc();*/ unsignedshort*crctp; inti; if((crctp=(unsignedshort*)malloc(256*sizeof(unsigned)))==0) return0; for(i=0;i256;i++) crctp=(*crcfn)(i,poly,0); returncrctp;}/*函数mk-crctbl的使用范例*/if((crctblp=mk-crctbl(CRCCCITT,crchware))==NIL){ puts(insuffmemoryforCRClookuptable.n); return1;*/ /*函数crcupdate用以用查表法计算CRC值并更新CRC累加器值*/ voidcrcupdate(data,accum,crctab) unsignedshortdata;/*输入的数据*/ unsignedshort*accum;/*指向CRC累加器的指针*/ unsignedshort*crctab;/*指向内存中CRC表的指针*/ { staticshortcomb-val; comb-val=(*accum8)^data; *accum=(*accum8)^crctab[comb-val]; } /*函数crcrevhware是传统的CRC算法的反序算法，其返回值即CRC值*/ unsignedshortcrcrevhware(data,genpoly,accum) unsignedshortdata; unsignedshortgenpoly; unsignedshortaccum; { staticinti; data=1; for(i=8;i0;i--) { data=1; if((data^accum)0x0001) accum=(accum1)^genpoly; else accum=1; } returnaccum; } /*函数crcrevupdate用以用反序查表法计算CRC值并更新CRC累加器值*/ voidcrcrevupdate(data,accum,crcrevtab) unsignedshortdata; unsignedshort*accum;DvNews2.
crc32 — 计算一个字符串的 crc32 多项式